Question

（2012•廣州一模）已知函數f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（1）求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）若對任意a∈[3，4]，函數f（x）在R上都有三個零點，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為f（x）=-x³+ax²+b，所以f′(x)=-3x2+2ax=-3x(x-

2a

3

)，由此根據a的取值范圍進行分類討論，能夠求出函數f（x）的單調遞增區間．
（2）由（1）知，a∈[3，4]時，f（x）的單調遞增區間為(0，

2

3

a)，單調遞減區間為（-∞，0）和(

2

3

a，+∞)．所以函數f（x）在x=0處取得極小值f（0）=b．由此利用對任意a∈[3，4]，函數f（x）在R上都有三個零點，能求出實數b的取值范圍．

解答：（1）解：因為f（x）=-x³+ax²+b，
所以f′(x)=-3x2+2ax=-3x(x-

2a

3

)．…（1分）
當a=0時，f'（x）≤0，函數f（x）沒有單調遞增區間；…（2分）
當a＞0時，令f'（x）＞0，得0＜x＜

2a

3

．
故f（x）的單調遞增區間為(0，

2

3

a)；…（3分）
當a＜0時，令f'（x）＞0，得

2a

3

＜x＜0．
故f（x）的單調遞增區間為(

2

3

a，0)．…（4分）
綜上所述，當a=0時，函數f（x）沒有單調遞增區間；
當a＞0時，函數f（x）的單調遞增區間為(0，

2

3

a)；
當a＜0時，函數f（x）的單調遞增區間為(

2

3

a，0)．…（5分）
（2）解：，由（1）知，a∈[3，4]時，
f（x）的單調遞增區間為(0，

2

3

a)，
單調遞減區間為（-∞，0）和(

2

3

a，+∞)．…（6分）
所以函數f（x）在x=0處取得極小值f（0）=b，…（7分）
函數f（x）在x=

2a

3

處取得極大值f(

2a

3

)=

4a3

27

+b．…（8分）
由于對任意a∈[3，4]，函數f（x）在R上都有三個零點，
所以

f(0)＜0 f( 2a 3 )＞0.

即

b＜0 4a3 27 +b＞0.

…（10分）
解得-

4a3

27

＜b＜0．…（11分）
因為對任意a∈[3，4]，b＞-

4a3

27

恒成立，
所以b＞(-

4a3

27

)max=-

4×33

27

=-4．…（13分）
所以實數b的取值范圍是（-4，0）．…（14分）

點評：本題主要考查函數的性質、導數、函數零點、不等式等知識，考查數形結合、化歸與轉化、分類與討論的數學思想方法，以及運算求解能力．