Question

給出下列命題：①存在實數x，使sinx+cosx=

3

2

；
②若α，β是第一象限角，且α＞β，則cosα＜cosβ；
③函數y=sin(

2

3

x+

π

2

)是偶函數；
④函數y=sin2x的圖象向左平移

π

4

個單位，得到函數y=sin(2x+

π

4

)的圖象．
其中正確命題的序號是

 

．（把正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：根據三角函數的恒等變形，看出三角函數的值域，得到①不正確，根據舉出反例說明②不正確，通過恒等變形以后看出④不正確，根據誘導公式看出③正確．

解答：解：sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)≤

2

＜

3

2

，故①不正確，
②反例為α=30⁰，β=-330⁰，雖然α＞β，但是cosα=cosβ，故②不正確，
③通過誘導公式變化成余弦函數，得到函數是一個偶函數，故③正確，
④y=sin2x 得到 y=sin2(x+

π

4

)=sin(2x+

π

2

)，故④不正確．
故答案為：③

點評：本題考查三角函數的圖象變換和奇偶性定義域和值域的問題，本題解題的關鍵是對函數式進行恒等變形，得到能夠驗證三角函數的性質的問題．