Question

如圖，某地為了開發旅游資源，欲修建一條連接風景點P和居民區O的公路，點P所在的山坡面與山腳所在水平面α所成的二面角為θ（0°＜θ＜90°），且sinθ=，點P到平面α的距離PH=0.4（km）。沿山腳原有一段筆直的公路AB可供利用，從點O到山腳修路的造價為a萬元/km，原有公路改建費用為萬元/km。當山坡上公路長度為lkm（1≤l≤2）時，其造價為（l²+1）a萬元。已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5（km），OA=（km），
（Ⅰ）在AB上求一點D，使沿折線PDAD修建公路的總造價最小；
（Ⅱ）對于（Ⅰ）中得到的點D，在DA上求一點E，使沿折線PDEO修建公路的總造價最小；
（Ⅲ）在AB上是否存在兩個不同的點D′、E′，使沿折線PD′E′O修建公路的總造價小于（Ⅱ）中得到的最小總造價，證明你的結論。

Answer 1

解：（I）如圖，PH⊥α，HB，PB⊥AB， 由三垂線定理逆定理知，AB⊥HB， 所以∠PBH是山坡面與α所成二面角的平面角， 則∠PBH=， 設BD=x(km)，0≤x≤1.5， 則， 記總造價為萬元， 據題設有 ， 當(km)時總造價最小。
（Ⅱ）設AE=y(km)，0≤y≤，總造價為萬元， 根據題設有 ， 則， 由，得y=1， 當y∈（0，1）時， 在（0，1）內是減函數； 當內是增函數； 故當y=1，即AE=1(km)時總造價最小， 且最小總造價為萬元。 （Ⅲ）不存在這樣的點D′、E′。 事實上，在AB上任取不同的兩點D′、E′。 為使總造價最小，E′顯然不能位于D′與B之間， 故可設E′位于D′與A之間， 且，0≤x1+y1≤， 總造價為S萬元， 則， 類似于（I）、（II）的討論知，， 當且僅當同時成立時， 上述兩個不等式等號同時成立， 此時(km)，AE′=1(km)，S取得最小值， 點D′、E′分別與點D、E重合； 所以不存在這樣的點D′、E′，使沿折線PD′E′O修建公路的總造價小于（II）中得到的最小總造價。