Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，橢圓C上的點到左焦點F距離的最小值與最大值之積為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l過橢圓C內一點M（m，0），與橢圓C交于P、Q兩點．對給定的m值，若存在直線l及直線母x=-2上的點N，使得△PNQ的垂心恰為點F，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）由條件得

c a = 2 2 (a+c)(a-c)=1

，解得a=

2

，b=c=1
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）由條件知，F（-1，0），-

2

＜m＜

2

．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（-2，y₁），則由

λy=x-m x2 2 +y2=1

得（λ²+2）y²+2λmy+m²-2=0，
由-

2

＜m＜

2

知△＞0恒成立，且y1+y2=-

2λm

λ2+2

，y1y2=

m2-2

λ2+2

．
由PQ⊥NF得y₁=λ，（1）
由NQ⊥PF得

y2-y1

x2+2

×

y1

x1+1

=-1，（2）
由（1）（2）式化簡得，（λ²+1）y₁y₂+λ（m+1）（y₁+y₂）+（m+1）（m+2）=0
化簡得，mλ²=-（3m²+6m+2）（顯然m≠0），
由λ²≥0，-

2

＜m＜

2

得，解得

3 -3

3

≤m＜0．
∴m的取值范圍[

3 -3

3

，0）．