Question

和為114的三個數是一個等比數列的連續三項，也分別是一個等差數列{b_n}的第一項、第四項、第二十五項．
（1）證明：b₂₅=8b₄-7b₁；
（2）求這三個數．

Answer 1

分析：（1）根據三個數是等比數列的連續三項，也分別是一個等差數列{b_n}的第一項、第四項、第二十五項，利用通項公式可證；
（2）由（1），結合和為114的三個數是一個等比數列的連續三項，利用等比數列的通項公式，可求三個數．

解答：證明：（1）∵b₂₅=b₁+24d，8b₄-7b₁=8（b₁+3d）-7b₁=b₁+24d
∴命題成立…（2分）
（2）設這三個數分別為a，aq，aq²
則  

a+aq+aq2=114 aq2=8aq-7a

…（2分）
解之得：

q=1 a=38

，或

q=7 a=2

∴這三個數分別為38，38，38；或2，14，98…（3分）

點評：本題以數列為載體，考查等差數列與等比數列的概念與通項，有一定的綜合性．