Question

（2007•溫州一模）設函數y=f（x），我們把滿足方程f（x）=0的值x叫做函數y=f（x）的零點．現給出函數f（x）=x³-3x²+ax+a²-10，若它是R上的單調函數，且1是它的零點．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）設Q₁（x₁，0），若過P₁（x₁，f（x₁））作函數y=f（x）的圖象的切線與x軸交于點Q₂（x₂，0），再過P₂（x₂，f（x₂））作函數y=f（x）的圖象的切線與x軸交于點Q₃（x₃，0），…，依此下去，過P_n（x_n，f（x_n））（n∈N^*）作函數y=f（x）的圖象的切線與x軸交于點Q_n+1（x_n+1，0），…．
若x₁=2，x_n＞1，求x_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由1是函數y=f（x）的零點，得：f（1）=a²+a-12=0，由此能求出實數a的值．
（Ⅱ）由f（x）=（x-1）³，知f（x_n）=（x_n-1）³，其導數為f′（x）=3（x-1）²，過P_n（x_n，f（x_n））（n∈N⁺）作函數y=f（x）圖象的切線方程為：y-（x_n-1）³=3（x_n-1）²（x-x_n），由此能求出x_n．

解答：解：（Ⅰ）由1是函數y=f（x）的零點，得：f（1）=a²+a-12=0，
解得：a=3，或a=-4，…（2分）
若a=3，則f（x）=x³-3x²+3x-1，f′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0恒成立，滿足條件；
若a=-4，則f（x）=x³-3x²-4x+6，
f′（x）=3x²-6x-4在R上有正，有負，
不滿足“是R上的增函數”條件，所以舍去．
所以，a=3．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=（x-1）³，則f（x_n）=（x_n-1）³，
其導數為f′（x）=3（x-1）²，
過P_n（x_n，f（x_n））（n∈N⁺）作函數y=f（x）圖象的切線方程
為：y-（x_n-1）³=3（x_n-1）²（x-x_n），…（8分）
令y=0得：-（x_n-1）³=3（x_n-1）²（x_n+1-x_n），
∵x_n＞1，
∴xn+1=

2

3

xn+

1

3

，xn+1-1=

2

3

(xn-1)，
∴數列{x_n-1}是以1為首項，

2

3

為公比的等比數列   …（12分）
x_n-1=(

2

3

)n-1，則xn=1+(

2

3

)n-1．…（14分）

點評：本昰考查數列的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．