Question

(本小題滿分14分) 已知函數及正整數數列. 若,且當時,有; 又,,且對任意恒成立. 數列滿足:.
(1) 求數列及的通項公式;
(2) 求數列的前項和；
(3) 證明存在，使得對任意均成立．

Answer 1

(1)，， (2) 當時，．這時數列的前項和， (3) 存在，使得對任意均成立

(1) 由得： .因為是正整數列,所以.于是是等比數列. 又,, 所以 .                              
因為 ,所以,于是:,說明是以2為公比的等比數列. 所以

因為, 由題設知： ，解得：。
又因為且，所以。
于是。
(2) 由得：.由及得：
設               ①
　　　　　　　　②
當時，①式減去②式, 得

于是,
這時數列的前項和．
當時，．這時數列的前項和．
(3) 證明：通過分析，推測數列的第一項最大，下面證明：
　　　　               ③
由知，要使③式成立，只要，
因為
．
所以③式成立．
因此，存在，使得對任意均成立．