Question

設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）為不同的兩點，直線l：ax+by+c=0，δ=

ax1+by1+c

ax2+by2+c

，以下命題中正確的個數為（　　）
①不論δ為何值，點M，N都不在直線l上；
②若δ=1，則過M，N的直線與直線l平行；
③若δ=-1，則直線l經過MN的中點；
④若0＜δ＜1，則點M、N在直線l的同側且直線l與線段MN的反向延長線相交．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據點與直線方程之間的關系分別進行判斷即可．
（1）根據分式函數的性質可知ax₂+by₂+c≠0，所以正確．
（2）當δ=1時，得到過M，N的直線方程的斜率和l相等．
（3）當δ=-1時，得到直線過MN的中點．
（4）當0＜δ＜1時，利用線性規劃的知識判斷．

解答：解：（1）由題意知ax₂+by₂+c≠0，∴不論δ為何值，點N都不在直線l上．∴正確．
（2）當δ=1時，得ax₁+by₁+c=ax₂+by₂+c，設ax₁+by₁+c=ax₂+by₂+c=m，則ax₁+by₁+c-m=0，ax₂+by₂+c-m=0，
則點M，N都滿足直線方程ax+by+（c-m）=0，∴M，N都在這方程表示的直線上，即此直線過點M，N．
∵m不為0，∴直線ax+by+（c-m）=0與直線l是平行的，∴過M，N的直線與直線l平行，∴正確．
（3）當δ=-1時，ax₁+by₁+c=-（ax₂+by₂+c），即a（x₁+x₂）+b（y₁+y₂）+2c=0，∴a(

x1+x2

2

)+b(

y1+y2

2

)+c=0，
即直線l經過MN的中點，∴正確．
（4）若0＜δ＜1，即

ax1+by1+c

ax2+by2+c

＞0，∴（ax₁+by₁+c）（ax₂+by₂+c）＞0，∴根據線性規劃的內容可知點M、N在直線l的同側且直線l與線段MN的延長線相交，∴錯誤．

點評：本題主要考查點與直線位置關系的判斷，利用方程之間的關系是解決本題的關鍵，考查學生的運算和分析能力．