Question

已知橢圓的左、右焦點分別是，離心率為．直線與軸，軸分別交于點是直線與橢圓的一個公共點，是點關于直線的對稱點．設．
（Ⅰ）證明；
（Ⅱ）若，的周長為，寫出橢圓的方程；
（Ⅲ）確定的值，使得是等腰三角形．

Answer 1

（Ⅰ）證明過程見答案（Ⅱ）橢圓方程為．（Ⅲ）時，為等腰三角形．

（Ⅰ）因為分別是直線與軸，軸的交點，所以的坐標分別是，．由得這里．
所以點的坐標是．由得．
即解得．
（Ⅱ）當時，，所以．由的周長為，
得．所以．橢圓方程為．
（Ⅲ）因為，所以為鈍角，要使為等腰三角形，必有，即．
設點到的距離為，由，
得．所以．于是．
即當時，為等腰三角形．