Question

【題目】一條寬為的兩平行河岸有村莊和供電站，村莊與的直線距離都是， 與河岸垂直，垂足為現要修建電纜，從供電站向村莊供電．修建地下電纜、水下電纜的費用分別是萬元、萬元.

(1) 如圖①,已知村莊與原來鋪設有電纜，現先從處修建最短水下電纜到達對岸后后，再修建地下電纜接入原電纜供電，試求該方案總施工費用的最小值；

(2) 如圖②，點在線段上，且鋪設電纜的線路為.若，試用表示出總施工費用（萬元）的解析式，并求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由已知可得為等邊三角形， 水下電纜的最短線路為，過作于，可知地下電纜的最短線路為，由此能求出該方案的總費用；（2）因為所以.可得，利用導數研究函數的單調性，從而能求出施工總費用的最小值.

試題解析：（1）由已知可得為等邊三角形.

因為，所以水下電纜的最短線路為.

過作于，可知地下電纜的最短線路為.

又，

故該方案的總費用為 （萬元）

（2）因為

所以.則

，

令則

，

因為，所以，

記

當，即時，

當，即時， ，

所以，從而，

此時，

因此施工總費用的最小值為（）萬元，其中.