Question

【題目】已知函數.

(1)當時，求函數的單調區間及極值；

(2)當時，求證：.

Answer 1

【答案】(1)的單調增區間為，單調減區間為；，沒有極小值；(2)證明見解析.

【解析】

（1）求函數的導數，利用導數求函數的單調區間、極值即可（2）構造函數，利用導數，分類討論求函數的最小值，轉化為最小值不小于0即可，也可構造函數后變換主元為求其最大值也可證明.

(1)當時，，在上單調遞減

由得：

當時，；當時，

函數的單調增區間為，單調減區間為.

，但沒有極小值.

(2)證明：

證法一

令

①當時，，故

②當時，在上是增函數

由得：

當時，，在上單調遞減

當時，，在上單調遞增

由知：

，于是

，即

綜上所述，當時，.

證法二

即，其中，

以為主元，設，，則

當時，.

由知對任意成立.

令，則在上單調遞減

又

當時，；當時，

對任意，都有，即

綜上所述，當時，.