Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的圖象過原點，且在x=1處的切線為直線y=-

1

2

（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）在區間[-2，2]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）求函數的導數，利用導數的幾何意義，建立方程關系，求函數f（x）的解析式；
（2）利用導數和函數單調性之間的關系求函數的最值．

解答：解：（1）∵函數f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的圖象過原點，
∴c=0，即f（x）=x³+ax²+bx．
f'（x）=3x²+2ax，
∵在x=1處的切線為直線y=-

1

2

，
∴f'（1）=0，且f（1）=-

1

2

，
即3+2a+b=0，且1+a+b=-

1

2

，
解得a=-

3

2

，b=0，
∴f（x）=x³-

3

2

x²，
（2）f'（x）=3x²-3x=3x（x-1），
由f'（x）＞0得，x＞1或x＜0，
由f'（x）＜0得，0＜x＜1，
即函數f（x）在（0，1）單調遞減，在（-∞，0）和（1，+∞）單調遞增，
∵f（-2）=-14，f（0）=0，f（1）=-

1

2

，f（2）=2，
∴函數的最大值為2，最小值為-14．

點評：本題主要考查導數的計算，以及導數的幾何意義，利用導數和函數之間的關系是解決本題的關鍵．