Question

在平面直角坐標系xOy中，已知動點P（x，y）（y≤0）到點F（0．-2）的距離為d₁，到x軸的距離為d₂，且d₁-d₂=2．
（I）求點P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）若A、B是（I）中E上的兩點，

.

OA

•

.

OB

=-16，過A、B分別作直線y=2的垂線，垂足分別P、Q．證明：直線AB過定點M，且

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MP

•

.

MQ

為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得：

PF

=(x，y+2)，根據|PF|-|y|=2  及 y≤0，得

x2 +(y+2)2

-|y|=2，化簡可得動點P的軌跡E的方程．
（Ⅱ） 聯立

y = kx+b x2= -8y

 可得x²+8kx+8b=0，則x₁+x₂=-8k，x₁•x₂=8b．根據

.

OA

•

.

OB

=-16求出b=-4，直線AB的方程為y=kx-4，恒過定點M（0，-4），求得

MP

•

MQ

=4．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得：

PF

=(x，y+2)．
由|PF|-|y|=2  及 y≤0，得 

x2 +(y+2)2

-|y|=2，
整理得  x²=-8y （y≤0）．即為所求動點P的軌跡E的方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（ x₂，y₂），由題意，知直線AB的斜率必定存在，
故設直線AB的斜率為k，方程為 y=kx+b．
聯立

y = kx+b x2= -8y

 可得 x²+8kx+8b=0．則 x₁+x₂=-8k，x₁•x₂=8b．
∵

.

OA

•

.

OB

=-16=x₁•x₂+y₁•y₂=（k²+1 ） x₁•x₂+kb（x₁+x₂ ）+b² 
=8b（k²+1）-8bk²+b²．∴b²+8b+16=0，∴b=-4，
 又△=64 k²-32b＞0，∴b＜2k²，故 b=-4，經檢驗符合題意．
當 b=-4 時，直線 AB的方程為 y=kx-4，恒過定點 M（0，-4）．
由題意，知P （x₁，2），Q （x₂，2 ）．則

MP

•

MQ

=（x₁，6 ） （x₂，6 ）=x₁•x₂+36=4．
故當 b=-4時，

MP

•

MQ

=4，為定值．

點評：本題考查兩個向量的數量積公式的應用，軌跡方程的求法，直線過定點問題，求出 b=-4，是解題的關鍵和難點．