Question

如圖，過拋物線x²=4y的對稱軸上任一點P（0，m）（m＞0）作直線與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點．
（I）若

AP

=λ

PB

(λ∈R)，證明：λ=-

x1

x2

；
（II）在（I）條件下，若點Q是點P關于原點對稱點，證明：

QP

⊥(

QA

-λ

QB

)；
（III）設直線AB的方程是x-2y+12=0，過A，B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程．

Answer 1

分析：（I）利用向量相等

AP

=λ

PB

(λ∈R)，即可證明；
（II）依題意，可設直線AB的方程為y=kx+m，代入拋物線方程，得到根與系數的關系，點Q是點P關于原點的稱點，故點Q（0，-m），從而

QP

=(0，2m)，進而得到

QA

-λ

QB

，利用根與系數的關系及其數量積運算即可得出

QP

•(

QA

-λ

QB

)=0即可證明

QP

⊥(

QA

-λ

QB

)．
（III）直線AB的方程與拋物線方程聯立即可解得點A，B的坐標，利用導數即可切線的斜率，再利用圓的切線的性質及圓的標準方程即可解得．

解答：解：（I）∵

AP

=λ

PB

(λ∈R)，∴-x₁=λx₂，（x₂≠0），即λ=-

x1

x2

．
（II）依題意，可設直線AB的方程為y=kx+m，
代入拋物線方程x²=4y得x²-4kx-4m=0 ①
∵直線與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點．
∴x₁x₂=-4m．
點Q是點P關于原點的稱點，
故點Q（0，-m），從而

QP

=(0，2m)，
∴

QA

-λ

QB

=（x₁，y₁+m）-λ（x₂，y₂+m）=（x₁-λx₂，y₁-λy₂+（1-λ）m），
∴

QP

•(

QA

-λ

QB

)=2m[y₁-λy₂+（1-λ）m]=2m[

x 2 1

4

+

x1

x2

•

x 2 2

4

+(1+

x1

x2

)m]=2m[

x 2 1

4

-m+m+

mx1

x2

]=2mx1•

x1x2+4m

4x2

=0
∴

QP

⊥(

QA

-λ

QB

)．
（III）由

x-2y+12=0 x2=4y

得點A、B坐標分別是（6，9）、（-4，4），
由x²=4y得y=

1

4

x2，∴y′=

1

2

x，
所以拋物線x²=4y在點A處切線的斜率為y′|_x=6=3．
設圓C的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²
則

b-9 a-b =- 1 3 (a-6)2+(b-9)2=(a+4)2+(b-4)2

，
解之得a=-

3

2

，b=

23

2

，r2=(a+4)2+(b-4)2=

125

2

，
即x²+y²+3x-23y+72=0．

點評：本題綜合考查了拋物線與圓的標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、直線與圓及拋物線相切問題、利用導數的幾何意義得到切線的斜率、斜率的計算公式、切線的性質等解出知識與基本技能，考查了推理能力與計算能力．