Question

已知△ABC中，AC=1，∠ABC=

2π

3

，∠BAC=x，記f(x)=

AB

•

BC

．
（1）求f（x）解析式及定義域；
（2）設g（x）=6m•f（x）+1，x∈(0，

π

3

)，是否存在正實數m，使函數g（x）的值域為(1，

3

2

]？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）AC=1，∠ABC=

2π

3

，∠BAC=x，結合正弦定理，可以表示出BC、AB邊的長，根據邊長為正，可求出x的取值范圍，即定義域，同時我們不難給出求f（x）解析式．
（2）由（1）的結論寫出g（x）的解析式，并求出g（x）的值域（邊界含參數），利用集合相等，邊界值也相等，易確定參數的值．

解答：解：（1）由正弦定理有：

BC

sinx

=

1

sin 2π 3

=

AB

sin( π 3 -x)

BC=

1

sin 2π 3

sinx，AB=

sin( π 3 -x)

sin 2π 3

∴f(x)=

AB

•

BC

=

4

3

sinx•sin(

π

3

-x)•

1

2

=

2

3

(

3

2

cosx-

1

2

sinx)sinx=

1

3

sin(2x+

π

6

)-

1

6

(0＜x＜

π

3

)
（2）g（x）=6mf（x）+1=2msin(2x+

π

6

)-m+1(0＜x＜

π

3

)
假設存在實數m符合題意，∵x∈(0，

π

3

)，∴

π

6

＜2x+

π

6

＜

5π

6

，則sin(2x+

π

6

)∈(

1

2

，1]．
因為m＞0時，g(x)=2msin(2x+

π

6

)-m+1的值域為（1，m+1]．
又g（x）的值域為(1，

3

2

]，解得m=

1

2

；
∴存在實數m=

1

2

，使函數f（x）的值域恰為(1，

3

2

]．

點評：本題考查的比較綜合的考查了三角函數的性質，根據已知條件，及第一步的要求，我們斷定求出向量的模，即對應線段的長度是本題的切入點，利用正弦定理求出邊長后，易得函數的解析式和定義域，故根據已知條件和未知的結論，分析它們之間的聯系，進而找出解題的方向是解題的關鍵．