Question

高三（3）班數學興趣小組的甲、乙、丙三人獨立解同一道數學難題，已知甲、乙、丙各自解出的概率分別為

1

2

、

1

3

、p，且他們是否解出該題互不影響．若三人中只有甲解出的概率為

1

4

．
（1）求甲、乙二人中至少有一人解出的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中恰好有兩人解出該題的概率．

Answer 1

考點：互斥事件的概率加法公式,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：概率與統計

分析：（1）記“甲、乙、丙三人各自解出該題”分別為事件A₁，A₂，A₃，依題意有P（A₁）=

1

2

，P（A₂）=

1

3

，P（A₃）=p，且A₁，A₂，A₃相互獨立．由此利用對立事件能求出甲、乙二人中至少有一人解出該題的概率．
（2）設“三人中只有甲解出該題”為事件B，“三人中恰好有兩人解出該題”為事件 C，則有P（B）=P（A₁•

.

A

2•

.

A

3），由此能求出甲、乙、丙三人中恰好有兩人解出該題的概率．

解答： 解：記“甲、乙、丙三人各自解出該題”分別為事件A₁，A₂，A₃，
依題意有P（A₁）=

1

2

，P（A₂）=

1

3

，P（A₃）=p，且A₁，A₂，A₃相互獨立．
（1）甲、乙二人中至少有一人解出該題的概率為
1-P（

.

A1

•

.

A2

）=1-

1

2

×

2

3

=

2

3

.5分
（2）設“三人中只有甲解出該題”為事件B，
“三人中恰好有兩人解出該題”為事件 C，則有：
P（B）=P（A₁•

.

A

2•

.

A

3）=

1

2

×

2

3

×（1-p）=

1-p

3

=

1

4

，p=

1

4

．
∴甲、乙、丙三人中恰好有兩人解出該題的概率：
P（C）=P（A₁•A₂•

.

A

3）+P（A₁•

.

A

2•A₃）+P（

.

A

1•A₂•A₃）
=

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

2

3

×

1

4

+

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

4

.10分．

點評：本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件的概率計算公式的合理運用．