Question

設曲線C的方程是y=x³-x，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動t、s單位長度后得曲線C₁．
（1）寫出曲線C₁的方程；
（2）證明曲線C與C₁關于點A（

t

2

，

s

2

）對稱；
（3）如果曲線C與C₁有且僅有一個公共點，證明s=

t3

4

-t且t≠0．

Answer 1

分析：（1）將C沿x軸、y軸正向分別平行移動t、s單位長度后，x變為x-t，y變為y-s，
（2）在曲線C上任取一點B₁（x₁，y₁），利用中點公式求出它關于點A的對稱點B₂，證明點B₂在曲線C₁上，同樣證明，
在曲線C₁上的點關于點A的對稱點在曲線C上．
（3）曲線C與C₁有且僅有一個公共點，即方程組有唯一解，對應的一元二次方程的判別式等于0，

解答：（1）解：曲線C₁的方程為 y=（x-t）³-（x-t）+s．
（2）證明：在曲線C上任取一點B₁（x₁，y₁）．設B₂（x₂，y₂）是B₁關于點A的對稱點，
則有

x1+x2

2

=

t

2

，

y1+y2

2

=

s

2

，所以x₁=t-x₂，y₁=s-y₂．
代入曲線C的方程，得x₂和y₂滿足方程：
s-y₂=（t-x₂）³-（t-x₂），即y₂=（x₂-t）³-（x₂-t）+s，可知點B₂（x₂，y₂）在曲線C₁上．
反過來，同樣可以證明，在曲線C₁上的點關于點A的對稱點在曲線C上．
因此，曲線C與C₁關于點A對稱．
（3）證明：因為曲線C與C₁有且僅有一個公共點，所以，方程組

y=x3-x y=(x-t)3-(x-t)+s

有且僅有一組解．
消去y，整理得 3tx²-3t²x+（t³-t-s）=0，這個關于x的一元二次方程有且僅有一個根．
所以t≠0并且其根的判別式△=9t⁴-12t（t³-t-s）=0，即

t≠0 t(t3-4t-4s)=0.

所以s=

t3

4

-t且t≠0．

點評：本小題主要考查函數圖象、方程與曲線，曲線的平移、對稱和相交等基礎知識，考查運動、變換等數學思想方法以及綜合運用數學知識解決問題的能力．