Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，直線被圓截得的弦長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點的直線交橢圓于，兩點，在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標和的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），.

【解析】

（1）由橢圓的離心率為，求得,再由圓的性質和圓的弦長公式，求得，進而可求解橢圓的標準方程；

（2）設的方程：，聯立方程組，利用根與系數的關系，求得，再利用向量的數量積的運算和代數式的性質，即可得到結論。

（1）∵橢圓的離心率為，∴,

∵圓的圓心到直線的距離為,

∴直線被圓截得的弦長為

.

解得，故，∴橢圓的方程為.

（2）設，，，

當直線與軸不重合時，設的方程：.

由得，，

∴，，

，

當，即時，的值與無關，此時.

當直線與軸重合且時， .

∴存在點，使得為定值.