Question

在一次數學競賽中，共出甲、乙、丙三題，在所有25個參加的學生中，每個學生至少解出一題；在所有沒有解出甲題的學生中，解出乙題的人數是解出丙題的人數的2倍；只解出甲題的學生比余下的學生中解出甲題的學生的人數多1；只解出1題的學生中，有一半沒有解出甲題.問共有多少學生只解出乙題？

Answer 1

分析：設解出甲、乙、丙三題的學生的集合分別是A，B，C，并用三個圓表示之，則重疊部分表示同時解出兩題或三題的學生的集合其人數分別以a,b,c,d,e,f,g表示

解析：由于每個學生至少解出一題，故

a+b+c+d+e+f+g=25      ①

由于沒有解出甲題的學生中，解出乙題的人數是解出

丙題的人數的2倍，故b+f=2(c+f )            ②

由于只解出甲題的學生比余下的學生中解出甲題的學

生的人數多1，故a=d+e+f+1             ③

由于只解出1題的學生中，有一半沒有解出甲題，

故a=b+c                 ④

由②得：b=2c+f,  f=2cb   ⑤

以⑤代入①消去f得：a+2bc+d+e+f=25     ⑥

以③、④代入⑥得：2bc+2d+2e+2g=24      ⑦       3b+d+e+g=25    ⑧

以2⑧⑦得：    4b+c=26    ⑨

∵c≥0，∴4b≤26，b≤6.

利用⑤、⑨消去c，得f=b2(264b)=9b52 ，

∵f≥0，∴9b≥52，  b≥.∵，∴b=6.

即解出乙題的學生有6人.