Question

如圖是A-B-C-D-E-F是一個滑滑板的軌道截面圖，其中AB，DE，EF是線段，B-C-D是一拋物線弧；點C是拋物線的頂點，直線DE與拋物線在D處相切，直線L是地平線．已知點B離地面L的高度是9米，離拋物線的對稱軸距離是6米，直線DE與L的夾角是45．試建立直角坐標系：
（Ⅰ）求拋物線方程，并確定D點的位置；
（Ⅱ）現將拋物線弧B-C-D改造成圓弧，要求圓弧經過點B，D，且與直線DE在D處相切．試判斷圓弧與地平線L的位置關系，并求該圓弧長．（可參考數據

3

=1.73，

2

=1.41，π=3.14，精確到0.1米）

Answer 1

分析：（Ⅰ） 以C為原點，L所在的直線為X軸，如圖所示建立直角坐標系，則B（-6，9）．   設拋物線的方程為y=ax²，把點B（-6，9）代入y=ax²，求出a即可
（Ⅱ）由圓的切線性質及垂徑定理，設所求圓的圓心為H．則H在過D與DE垂直的直線l₁ 上，又在BD的中垂線上，解出圓心，半徑，再利用直線與圓的位置關系去解．

解答：解：（Ⅰ）以C為原點，L所在的直線為X軸，如圖所示建立直角坐標系，則B（-6，9）．    
設拋物線的方程為y=ax²，把點B（-6，9）代入y=ax²得a=

1

4

，
故拋物線方程為y=

1

4

x2．
設D(x0，

1

4

x02)，根據直線DE與L的夾角是45．得直線L的斜率為1，由y′=

1

2

x，
∴

1

2

x0=1，∴x₀=2，
故D點的坐標是（2，1）．
（Ⅱ）設所求圓的圓心為H．過D與L垂直的直線方程是l₁：y=-x+3，BD的中點坐標是（-2，5），k_BD=-1，故BD中垂線方程是y=x+7，
由  

y=x+7 y=-x+3

得x=-2，y=5．∴H（-2，5）．∵B（-6，9）∈l₁，∴BD是直徑．
∵BD=8

2

，半徑r=4

2

．∴

BD

=4

2

π≈17.7(m)．
∵圓心H到L的距離為d=5，d=5＜4

2

=r，故圓弧與地平線L相交．

點評：本題考查圓錐曲線方程求解，直線與圓的位置關系、函數與導數知識，考查建模能力、分析解決問題、計算能力．是好題．