Question

在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到兩條坐標(biāo)軸的距離之和等于它到點(diǎn)的距離，記點(diǎn)的軌跡為曲線.

(I) 給出下列三個(gè)結(jié)論：

①曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

②曲線關(guān)于直線對(duì)稱；

③曲線與軸非負(fù)半軸，軸非負(fù)半軸圍成的封閉圖形的面積小于；

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_____;

(Ⅱ)曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為______.

 

Answer 1

【答案】

②③； 

【解析】

試題分析：(I)P點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸距離分別為 曲線方程為 ，該方程中用分別替換原方程中的方程改變，所以曲線不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；而用分別替換原方程中的方程不變，所以曲線關(guān)于直線對(duì)稱．曲線與x軸非負(fù)半軸，軸非負(fù)半軸圍成的封閉圖形即為與x軸非負(fù)半軸，軸非負(fù)半軸圍成的封閉圖形，由化簡(jiǎn)得：，它的圖象可由向左平移一個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位而得到，它的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，結(jié)合圖象可知： ，故正確的序號(hào)為②③．(Ⅱ) 由得： ，即，當(dāng)時(shí)，該式可化簡(jiǎn)為；當(dāng)時(shí)，該式可化簡(jiǎn)為

，即或，進(jìn)而可以畫出曲線，結(jié)合圖象可知，曲線與直線 在第一象限的交點(diǎn)距離原點(diǎn)最近，由解得：，故最短距離為 ．

考點(diǎn)：曲線與方程．