Question

已知下列四個命題：
①函數f（x）=2^x滿足：對任意x₁，x₂∈R，有f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]；
②函數f（x）=log2(x+

1+x2

)，g（x）=1+

2

2x-1

均是奇函數；
③若函數f（x）的圖象關于點（1，0）成中心對稱圖形，且滿足f（4-x）=f（x），那么f（2）=f（2012）；
④設x₁，x₂是關于x的方程|log_ax|=k（a＞0，a≠1）的兩根，則x₁x₂=1．
其中正確命題的序號是

①②④

．

Answer 1

分析：①由f（x）=2^x，對任意x₁，x₂∈R，作差比較f（

x1+x2

2

）、

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]的大小；
②由奇函數的定義判定f（x）、g（x）的奇偶性；
③由f（x）的圖象關于點（1，0）成中心對稱知，f（x+1）是奇函數，又f（4-x）=f（x）知，f（x）的圖象關于x=2對稱；得f（x）以4為周期，從而判定f（22）≠f（2012）；
④解方程|log_ax|=k（a＞0，a≠1），得x₁，x₂，計算x₁x₂；

解答：解：①∵函數f（x）=2^x，∴對任意x₁，x₂∈R，有f（

x1+x2

2

）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=2

x1+x2

2

-

1

2

（2x1+2x2）；
∵

1

2

（2x1+2x2）≥

1

2

×2

2x12x2

=2

x1+x2

2

，當且僅當x₁=x₂時取“=”，∴f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]成立；∴命題正確；
②∵函數f（x）=log2(x+

1+x2

)（x∈R），∴f（-x）=log₂（-x+

1+(-x)2

）=log₂

1

x+ 1+x2

=-log₂（x+

1+x2

）=-f（x），∴f（x）是奇函數；
∵g（x）=1+

2

2x-1

=

2x+1

2x-1

（x∈R），∴g（-x）=

2-x+1

2-x-1

=

2x+1

1-2x

=-g（x），∴g（x）是奇函數；∴命題正確；
③∵函數f（x）的圖象關于點（1，0）成中心對稱圖形，∴f（x+1）是奇函數，∴f（x+1）=-f（-x+1），又f（4-x）=f（x），∴f（x）的圖象關于x=2對稱；∴f（x）是以4為周期的函數，f（2）≠f（2012）；命題錯誤；
④∵|log_ax|=k（a＞0，a≠1），∴log_ax=±k，∴x₁=a^k，x₂=a^-k，則x₁x₂=a^k•a^-k=a⁰=1，∴命題正確；
所以，正確命題的序號是：①②④
故答案為：①②④

點評：本題通過命題真假的判定，考查了函數單調的性質與圖象的變換以及方程的知識，是容易出錯的題目．