Question

設函數定義在R上，對任意實數m、n，恒有且當
（1）求證：f（0）=1，且當x＜0時，f（x）＞1；
（2）求證：f（x）在R上遞減。

Answer 1

略

（1）證明：在f（m+n）=f（m）f（n）中，
令m=1，n=0，得f（1）=f（1）f（0）.
∵0＜f（1）＜1，∴f（0）=1…………………2分
設x＜0，則－x＞0.令m=x，n=－x，代入條件式有f（0）=f（x）·f（－x），而f（0）=1，
∴f（x）=＞1……………………….6分
（2）證明：設x₁＜x₂，則x₂－x₁＞0，∴0＜f（x₂－x₁）＜1………………….8分
令m=x₁，m+n=x₂，則n=x₂－x₁，代入條件式，得f（x₂）=f（x₁）·f（x₂－x₁），…10分
即0＜＜1.∴f（x₂）＜f（x₁）……………….12分
∴f（x）在R上單調遞減………………….14分