Question

已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個焦點與A關于直線y=x對稱．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設直線y=mx+1與雙曲線C的左支交于A，B兩點，另一直線l經過M（-2，0）及AB的中點，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍；
（Ⅲ）若Q是雙曲線C上的任一點，F₁F₂為雙曲線C的左，右兩個焦點，從F₁引∠F₁QF₂的平分線的垂線，垂足為N，試求點N的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設雙曲線C的漸近線方程為y=kx，則kx-y=0，由該直線與圓相切，知雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x．由此利用雙曲線C的一個焦點為 ，能求出雙曲線C的方程．
（Ⅱ）由，得（1-m²）x²-2mx-2=0．令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2．直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程f（x）=0在（-∞，0）上有兩個不等實根．由此能求出直線l在y軸上的截距b的取值范圍．
（Ⅲ）若Q在雙曲線的右支上，則延長QF₂到T，使|QT|=|QF₁|，若Q在雙曲線的左支上，則在QF₂上取一點T，使|QT|=|QF₁|．由此能求出點N的軌跡方程．
解答：解：（Ⅰ）設雙曲線C的漸近線方程為y=kx，
則kx-y=0
∵該直線與圓相切，
∴雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±x．
故設雙曲線C的方程為．
又雙曲線C的一個焦點為 
∴2a²=2，a²=1．
∴雙曲線C的方程為x²-y²=1．
（Ⅱ）由
得（1-m²）x²-2mx-2=0．
令f（x）=（1-m²）x²-2mx-2
直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程f（x）=0在（-∞，0）上有兩個不等實根．
因此
解得．
又AB中點為，
∴直線l的方程為．
令x=0，
得．
∵，
∴
∴．
（Ⅲ）若Q在雙曲線的右支上，
則延長QF₂到T，使|QT|=|QF₁|，
若Q在雙曲線的左支上，
則在QF₂上取一點T，使|QT|=|QF₁|．
根據雙曲線的定義|TF₂|=2，
所以點T在以為圓心，2為半徑的圓上，
即點T的軌跡方程是①
由于點N是線段F₁T的中點，
設N（x，y），T（x_T，y_T）．
則，即．
代入①并整理得點N的軌跡方程為x²+y²=1.
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．