Question

已知點(diǎn)P（x₀，y₀）是漸近線為2x±3y=0且經(jīng)過定點(diǎn)（6，2

3

）的雙曲線C₁上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是P關(guān)于雙曲線C₁實(shí)軸A₁A₂的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)直線PA₁與QA₂的交點(diǎn)為M（x，y），
（1）求雙曲線C₁的方程；
（2）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（3）已知x軸上一定點(diǎn)N（1，0），過N點(diǎn)斜率不為0的直線L交C₂于A、B兩點(diǎn)，x軸上是否存在定點(diǎn) K（x₀，0）使得∠AKN=∠BKN？若存在，求出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接設(shè)設(shè)c₁方程為 4x²-9y²=λ，又點(diǎn)（6，2

3

）在曲線上代入得λ=36即可得到結(jié)論；
（2）結(jié)合已知得到KPA 1=

y

x+3

=

y0

x0+3

，KPA 2=

y

x-3

=

-y0

x0-3

；相乘整理即可得到結(jié)論；
（3）先聯(lián)立直線方程與曲線方程，得到y1+y2=

-8t

9+4t2

，y₁y₂=

-5

9+4t2

；根據(jù)∠AKN=∠BKN得到K_AN+K_BN=0；整理后結(jié)合已知條件即可求出結(jié)論．

解答：解：（1）可設(shè)c₁方程為 4x²-9y²=λ，又點(diǎn)（6，2

3

）在曲線上代入得λ=36．
所以雙曲線C₁的方程為：

x2

9

-

y2

4

=1                      …（4分）
（2）由題意A₁（-3，0），A₂（3，0），Q（x₀，-y₀）．
當(dāng)P異于頂點(diǎn)時(shí)，KPA 1=

y

x+3

=

y0

x0+3

，KQA 2=

y

x-3

=

-y0

x0-3

所以 

y2

x2-9

=

-y02

x02-9

=-

4

9

   即  

x2

9

+

y2

4

=1，  (x≠±3)．
當(dāng)P為頂點(diǎn)時(shí)直線PA₁與 QA₂的交點(diǎn)為頂點(diǎn)
所以      

x2

9

+

y2

4

=1．…（9分）
（3）設(shè)L交曲線C₂于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可設(shè)L方程為x=ty+1 （t≠0）
代入C₂方程得   （9+4t²）y²+8ty-32=0
y1+y2=

-8t

9+4t2

，y₁y₂=

-32

9+4t2

．
若存在K，則K_AK+K_BK=0，
∴y₁（ty₂+1-x_K）+y₂（ty₁+1-x_K）=0
即  2t•

-32

9+4t2

+（1-x_K）•

-8t

9+4t2

=0對(duì)t恒成立
所以  x_K=9
故點(diǎn)K坐標(biāo)為（9，0）…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．解決這類問題的常用方法時(shí)，聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，再結(jié)合已知條件求解．