Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC= ，AB=1，M是PB的中點．

（1）證明：面PAD⊥面PCD；
（2）求AC與PB所成的角；
（3）求面AMC與面BMC所成二面角的大小余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

∴由三垂線定理得：CD⊥PD．

因而，CD與面PAD內兩條相交直線AD，PD都垂直，

∴CD⊥面PAD．

又CD面PCD，

∴面PAD⊥面PCD．

（2）解：過點B作BE∥CA，且BE=CA，

則∠PBE是AC與PB所成的角．

連接AE，可知AC=CB=BE=AE= ，又AB=2，

所以四邊形ACBE為正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°

在Rt△PEB中BE=a2=3b2，PB= ，

∴cos∠PBE= ．

∴AC與PB所成的角為arccos ．

（3）解：作AN⊥CM，垂足為N，連接BN．

在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，

∴△AMC≌△BMC，

∴BN⊥CM，故∠ANB為所求二面角的平面角

∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC，

在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．

在等腰三角形AMC中，ANMC= ，

∴AN= ．

∴AB=2，

∴cos∠ANB= =﹣

故面AMC與面BMC所成二面角的大小余弦值為﹣ ．

【解析】（1）證明面PAD⊥面PCD，只需證明面PCD內的直線CD，垂直平面PAD內的兩條相交直線AD、PD即可；（2）過點B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC與PB所成的角，解直角三角形PEB求AC與PB所成的角；（3）作AN⊥CM，垂足為N，連接BN，說明∠ANB為所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC與面BMC所成二面角的大小．
【考點精析】關于本題考查的平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．