Question

已知曲線C上任一點P到直線x=1與點F（-1，0）的距離相等．
（1）求曲線C的方程；
（2）設直線y=x+b與曲線C交于點A，B，問在直線l：y=2上是否存在與b無關的定點M，使得直線MB與MA關于直線l對稱，若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的定義可知點F（-1，0）為拋物線的焦點，x=1為其準線，設出拋物線的方程，根據焦點坐標求得p，則拋物線方程可得．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），假設存在點M（a，2）滿足條件，根據題意可推斷出k_AM+k_BM=0，把A，B坐標代入，同時根據拋物線方程可知x₁和y₁，x₂和y₂的關系，把直線與拋物線方程聯立消去x，利用韋達定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，代入方程③中，求得a的值，推斷出出存在點M（-1，2）滿足題意．

解答：解：（1）依題意，曲線C為拋物線，且點F（-1，0）為拋物線的焦點，x=1為其準線，
則拋物線形式為y²=-2px，由

p

2

=1，得p=2，
則曲線C的方程為y²=-4x．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），假設存在點M（a，2）滿足條件，則k_AM+k_BM=0
即

y1-2

x1-a

+

y2-2

x2-a

=0，即x₂y₁+x₁y₂-2（x₁+x₂）-a（y₁+y₂）=0①
而x1=-

y 2 1

4

，x2=-

y 2 2

4

，②
整理得y₁y₂（y₁+y₂）+4a（y₁+y₂）-2（y₁²+y₂²）-16a=0，
即為：y₁y₂（y₁+y₂）+4a（y₁+y₂）-2[（y₁+y₂）²-2y₁y₂]-16a=0，③
由

y=x+b y2=-4x

得：y²+4y-4b=0，
則y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4b，④
將④代入③得：-4b×（-4）+4a×（-4）-2[（-4）²+8b]-16a=0，即a=-1．
因此，存在點M（-1，2）滿足題意．

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質，直線與拋物線的關系，拋物線的標準方程．考查了學生分析問題和運算能力的．