Question

已知點P(x,y)是圓(x+2)²+y²=1上任意一點.

(1)求P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值;

(2)求x-2y的最大值和最小值;

(3)求的最大值和最小值.

Answer 1

解析：(1)&(3)題中的目標函數均有兩個變量x、y,因此可通過圓的參數方程化為一個變量的函數,再求最值.?

運用數形結合的思想求解.第(1)題中,設圓心到直線的距離為d,則由圖可知,最大值為d+r,最小值為d-r.第(2)題中設t=x-2y,則當直線與圓相切時,t分別取得最大值和最小值.第(3)題中,將看成圖上一點P(x,y)與定點(1,2)連線的斜率,因此當直線y-2=k(x-1)與圓相切時取得最值.

解法一:圓的參數方程為(θ為參數).

∵P(x,y)在圓上,?

∴可設

(1)點P到直線3x+4y+12=0的距離為

∵|sin(θ-β)|≤1,

解法二:(1)圓心C(-2,0)到直線3x+4y+12=0的距離為

∴P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為d+r=

(2)設t=x-2y,則直線x-2y-t=0與圓(x-2)²+y²=1有公共點.?

(3)設則直線kx-y-k+2=0與圓(x-2)²+y²=1有公共點,