Question

【題目】我們稱n（）元有序實數組（，，…，）為n維向量，為該向量的范數.已知n維向量，其中，，2，…，n.記范數為奇數的n維向量的個數為，這個向量的范數之和為.

（1）求和的值；

（2）當n為偶數時，求，（用n表示）.

Answer 1

【答案】（1），.（2），

【解析】

（1）利用枚舉法將范數為奇數的二元有序實數對都寫出來，再做和；（2）用組合數表示和，再由公式或將組合數進行化簡，得出最終結果.

解：（1）范數為奇數的二元有序實數對有：，，，，

它們的范數依次為1，1，1，1，故，.

（2）當n為偶數時，在向量的n個坐標中，要使得范數為奇數，則0的個數一定是奇數，所以可按照含0個數為：1，3，…，進行討論：的n個坐標中含1個0，其余坐標為1或，共有個，每個的范數為；

的n個坐標中含3個0，其余坐標為1或，共有個，每個的范數為；

的n個坐標中含個0，其余坐標為1或，

共有個，每個的范數為1；所以

，

.

因為，①

，②

得，，

所以.

解法1：因為，

所以.

.

解法2：得，.

又因為，所以

.