Question

如圖，已知PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PD=DC=BC；
（Ⅰ）求異面直線PB與AD所成角的余弦值； 
（Ⅱ）若AD=

1

2

BC，E為PC的中點，求證：DE∥平面PAB．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）首先利用線面的垂直轉化出異面直線的夾角，進一步利用解直角三角形得到結論．
（2）利用中位線和線面平行的判定定理直接得到結論．

解答： 證明：（I）因為PD⊥平面ABCD，
所以：PD⊥BC，
因為：AD⊥CD，AD∥BC，
所以：CD⊥CB，又PD⊥BC，PD交CD于D，
所以BC⊥平面PCD，所以BC⊥PC，
設PD=a，則BC=a，
所以：PD=

2

a，PB=

3

a，
所以：cos∠PBC=

3

3

，
所以異面直線PB與AD所成角的余弦值是

3

3

．
（II）取PB中點為F，連接EF，
因為E、F是PC，PB的中點，
所以：EF∥BC，EF=

1

2

BC
所以：四邊形AFED為平行四邊形，
所以：DE∥AF，DE?平面PAB，AF?平面PAB
所以DE∥平面PAB

點評：本題考查的知識要點：異面直線的夾角的應用及相關的運算問題，線面平行的判定定理，屬于基礎題型．