【題目】已知函數
，其導函數
的最大值為
.
（1）求實數
的值；
（2）若
，證明：
.
【答案】（1）
；（2）見解析
【解析】
（1）先對
求導，然后根據導數形式對
進行分類討論，通過導函數
最大值為0，求得的值.
（2）要證
，則需證
，再利用的單調性，證
，利用條件把
換掉，構造函數
證明
，對
求導，研究其單調性和極值，得到結論.
（1）由題意，函數
的定義域為
，其導函數
記
則
.
當
時，
恒成立，所以
在上單調遞增，且
.
所以
，有
，故時不成立；
當
時，若
，則
；若
，則
.
所以在
單調遞增，在
單調遞減。
所以
.
令
，則
.
當
時，
；當
時，
.所以
在
的單減，在
單增.
所以
，故.
（2）當時，
，則
.
由（1）知
恒成立，
所以在上單調遞減，
且
，
不妨設
，則
，
欲證，只需證
，因為在上單調遞減，
則只需證
，又因為
，
則只需證
，即
.
令
（其中
），且
.
所以欲證，只需證
，
由
，
整理得：
，
，
所以
在區間上單調遞增，
所以
，
，
所以函數在區間上單調遞減，
所以有
，，故.
輕松奪冠全能掌控卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某小學舉辦“父母養育我，我報父母恩”的活動，對六個年級（一年級到六年級的年級代碼分別為1，2…，6）的學生給父母洗腳的百分比y%進行了調查統計，繪制得到下面的散點圖．
（1）由散點圖看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請用相關系數加以說明；
（2）建立y關于x的回歸方程，并據此預計該校學生升入中學的第一年（年級代碼為7）給父母洗腳的百分比．
附注：參考數據：
參考公式：相關系數
，若r＞0.95，則y與x的線性相關程度相當高，可用線性回歸模型擬合y與x的關系．回歸方程
中斜率與截距的最小二乘估計公式分別為
＝
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義在
上的函數
，
單調遞增，
，若對任意
，存在
，使得
成立，則稱是在上的“追逐函數”.若
，則下列四個命題：①
是在
上的“追逐函數”；②若
是在上的“追逐函數”，則
；③
是在上的“追逐函數”；④當
時，存在
，使得
是在上的“追逐函數”.其中正確命題的個數為（ ）
A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動圓
在圓
：
外部且與圓相切，同時還在圓
：
內部與圓相切．
（1）求動圓圓心的軌跡方程；
（2）記（1）中求出的軌跡為
，與
軸的兩個交點分別為
、
，
是上異于、的動點，又直線
與軸交于點
，直線
、
分別交直線
于
、
兩點，求證：
為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某興趣小組有男生20人，女生10人，從中抽取一個容量為5的樣本，恰好抽到2名男生和3名女生，則
①該抽樣可能是系統抽樣；
②該抽樣可能是隨機抽樣：
③該抽樣一定不是分層抽樣；
④本次抽樣中每個人被抽到的概率都是
．
其中說法正確的為（ ）
A.①②③B.②③C.②③④D.③④
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