Question

在直線l：x-y+9=0上任取一點M，過M作以F₁（-3，0），F₂（3，0）為焦點的橢圓，當M在什么位置時，所作橢圓長軸最短？并求此橢圓方程．

Answer 1

設F₁（-3，0）關于l：x-y+9=0的對稱點F（x，y）
則

x-3 2 - y 2 +9=0 y-0 x+3 =-1

⇒

x=-9 y=6

，即F（-9，6），
連F₂F交l于M，點M即為所求．
F₂F：y=-

1

2

(x-3)即x+2y-3=0
解方程組

x+2y-3=0 x-y+9=0

⇒

x=-5 y=4

，即M（-5，4）
當點M′取異于M的點時，|FM′|+|M′F₂|＞|FF₂|．
滿足題意的橢圓的長軸2a=|FF2|=

(-9-3)2+62

=6

5

所以a=3

5

，b²=a²-c²=45-9=36
所以橢圓的方程為：

x2

45

+

y2

36

=1．