Question

【題目】已知函數．

（1）設，當時，求函數的單調減區間及極大值；

（2）設函數有兩個極值點，

①求實數的取值范圍；

②求證：．

Answer 1

【答案】（1）單調減區間為，，．（2）①．②見解析

【解析】

（1）求出函數，再求出其導函數，令，解出，根據單調性和極值求法即可求解.

（2）①函數有兩個極值點，即方程有兩個不等實根．分離參數，轉化成圖像有兩個交點，利用導數判定函數的單調性，即可得到實數的取值范圍；②不妨設，由①知，且有，可得，將可化．再構造函數，利用導數證出，即可證明.

（1），

．

當時，．

令，解得，

當時，，為單調減函數；

當時，，為單調增函數；

當時，，為單調減函數，

函數的單調減區間為，，．

（2）①函數有兩個極值點，

方程有兩個不等實根．

由，顯然時方程無根，．

設，則．

令，得．

當時，，為單調遞增函數；

當時，，為單調遞減函數．

且當時，；當時，，

．．

實數的取值范圍是．

②證明：不妨設，由①知，且有

可化為．

又．

即證，

即證，即．

設，即證當時成立．

設，

，

在上為增函數．

，即成立．

成立．