Question

【題目】在四棱錐中，底面為菱形，側面為等邊三角形，且側面底面， ， 分別為， 的中點.

（Ⅰ）求證： .

（Ⅱ）求證：平面平面.

（Ⅲ）側棱上是否存在點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)側棱上存在點，使得平面，且．

【解析】試題分析：（1）要證，只需證明平面即可；（2）連結,因為四邊形為菱形，所以,因為分別為的中點，所以，且，由（1）知平面,進而證得平面，從而證的平面平面；（3）設與的交點分別為連結，因為四邊形為菱形， 分別為的中點，所以，設為上靠近點三等分點，則，所以,進而得到平面．

試題解析：解：（1）因為為等邊三角形, 為的中點,

所以又因為平面平面,

平面平面, 平面,所以平面,

又因為平面,所以.

（2）連結,因為四邊形為菱形，所以,因為分別為的中點,

所以，由（1）知平面,平面,

平面,

又因為平面,所以平面平面.

（3）當點為上的三等分點（靠近點）時, 平面.

證明如下：設與的交點分別為連結.因為四邊形為菱形,

分別為的中點,所以,設為上靠近點三等分點，

則,所以,因為平面平面

平面.由于平面平面平面,即平面, ,所以平面平面,

平面平面.可見側棱上存在點,使得平面,

且.