Question

設a＞0，f(x)＝是R上的偶函數．
(1)求a的值；
(2)判斷并證明函數f(x)在[0，＋∞)上的單調性；
(3)求函數的值域．

Answer 1

（1）a＝1（2）f(x)在[0，＋∞)上為增函數（3）[2，＋∞)

(1)因為f(x)為偶函數，故f(1)＝f(－1)，
于是＝＋3a，即.因為a＞0，故a＝1.
(2)設x₂＞x₁≥0，f(x₁)－f(x₂)＝(3x₂－3x₁)(－1)．
因為3^x為增函數，且x₂＞x₁，
故3x₂－3x₁＞0.因為x₂＞0，x₁≥0，故x₂＋x₁＞0，于是＜1，即－1＜0，所以f(x₁)－f(x₂)＜0，所以f(x)在[0，＋∞)上為增函數．
(3)因為函數為偶函數，且f(x)在[0，＋∞)上為增函數，故f(0)＝2為函數的最小值，于是函數的值域為[2，＋∞)．