Question

（本題滿分16分）

設函數.

（Ⅰ） 判斷在區間上的增減性并證明之；

（Ⅱ） 若不等式≤≤對恒成立, 求實數的取值范圍M；

（Ⅲ）設≤≤，且，求證：≥.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵  ∴…1分

    設 則  ……2分

∴在上為減函數  又    時，，

∴ ∴在上是減函數                        ………4分

(Ⅱ)∵ ∴或時

 ∴…………………………6分

又≤≤對一切恒成立 ，∴≤≤      ……………8分

（Ⅲ）顯然當或時，不等式成立              ………………………10分

當，原不等式等價于≥ ………11分

下面證明一個更強的不等式：≥…①

即≥……②亦即≥ ……………………13分

由(1) 知在上是減函數   又  ∴

∴不等式②成立，從而①成立  又

∴＞

綜上有≤≤且≤≤時，原不等式成立     …………………………16分