Question

已知關于x的方程(1-a)x²+(a+2)x-4=0,a∈R,求:

(1)方程有兩個正根的充要條件;

(2)方程至少有一個正根的充要條件.

Answer 1

解析:先求出方程有兩個實根的充要條件,再討論x²的系數及運用根與系數的關系分別求出要求的充要條件.

解:(1)方程(1-a)x²+(a+2)x-4=0有兩個實根的充要條件是

即即a≥10或a≤2且a≠1.

設此時方程的兩實根為x₁、x₂,有兩個正根的充要條件是

即1＜a≤2或a≥10是方程有兩個正根的充要條件.

(2)由(1)知當1＜a≤2或a≥10時方程有兩個正根,當a=1時,方程化為3x-4=0,有一正根,又方程有一正根一負根的充要條件是a＜1,故方程至少有一個正根的充要條件是a≤2或a≥10.

啟示:處理充分、必要條件問題時,首先要分清條件與結論,要緊扣定義.