Question

已知向量

a

=（sinx，

3

2

），

b

=（cosx，-1）．
（1）當

a

∥

b

時，求2cos²x-sin2x的值；
（2）求f（x）=（

a

+

b

）•

b

在[-

π

2

，0]上的單調區間，并說明單調性．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：

3

2

cosx+sinx=0，所以tanx=-

3

2

，所以2cos²x-sin2x=

2cos2x-sinxcosx

sin2x+cos2x

=

2-2tanx

1+tan2x

，進而得到答案．
（2）由題意可得：f（x）=

2

2

sin(2x+

π

4

)，并且-

3π

4

≤2x+

π

4

≤

π

4

，令-

3π

4

≤2x+

π

4

≤-

π

2

，進而得到函數的減區間，同理可得增區間．

解答：解：（1）因為

a

∥

b

，所以

3

2

cosx+sinx=0，所以tanx=-

3

2

，
所以2cos²x-sin2x=

2cos2x-2sinxcosx

sin2x+cos2x

=

2-2tanx

1+tan2x

=

20

13

．
（2）由題意可得：f（x）=

2

2

sin(2x+

π

4

)，
∵-

π

2

≤x≤0，
∴-

3π

4

≤2x+

π

4

≤

π

4

，令-

3π

4

≤2x+

π

4

≤-

π

2

，得-

π

2

≤x≤-

3π

8

，
故f（x） 在[-

π

2

，-

3π

8

] 上是單調減函數，
同理f（x） 在[-

3π

8

，0] 上是單調增函數．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握向量的數量積的運算，以及三角函數的有關性質．