Question

已知點P（

t2

2

，t）（|t|＞2），過P作圓A：（x-1）²+y²=1的兩條切線分別切圓于E，F兩點，交y軸于B．C兩點如圖：
（1）當P點坐標為（8，4）時，求直線EF的方程；
（2）用字母t表示切線段PE的長，用字母t表示線段BC的長．
（3）求△PBC面積的最小值．及對應P點坐標．

Answer 1

分析：（1）根據題意得到P、E、A、F四點共圓，表示出以AP為直徑圓的方程，與已知圓A方程相減求出公共弦EF的方程即可；
（2）在直角三角形AEP中，利用勾股定理表示出PE，再由切線長定理得到PE=PF，BO=BE，CO=CF，用兩種方法分別表示出三角形PBC的面積，兩者相等表示出BC即可；
（3）設m=t²-4，代入表示出的三角形PBC中，整理后利用基本不等式求出面積的最小值，以及此時t的值，即可確定出此時P的坐標．

解答：解：（1）由題意可得，P、E、A、F四點共圓，且以AP為直徑，此時圓方程為（x-1）（x-8）+y（y-4）=0，
∵EF是圓（x-1）²+y²=1與圓（x-1）（x-8）+y（y-4）=0的公共弦，
∴把這兩個圓的方程相減，得到公共弦EF所在的直線的方程為7x+4y-8=0；
（2）由題意得：PE=

PA2-1

=

( t2 2 -1)2+t2-1

=

t2

2

，
由切線長知識PE=PF，BO=BE，CO=CF，
∴S_△PBC=

1

2

BC•P_橫坐標=

1

4

BC•t²，
又S_△PBC=

1

2

（BO+CO+BE+CF+PE+PF）r=

1

2

（2BC+2PE）r=BC+

1

2

t²，
∴

1

4

BC•t²=BC+

1

2

t²，
解得：BC=

2t2

t2-4

；
（3）設m=t²-4，S_△PBC=

1

2

BC•P_橫坐標=

1

4

•

2t2

t2-4

•t²=

1

2

(m+4)2

m

=

1

2

（m+

16

m

+8）≥8，
當且僅當m=4，即t=±2

2

時取等號，此時P（4，±2

2

）．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，三角形的面積公式，直線的一般式方程，以及點到直線的距離公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵．