Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)和圓O：x²+y²=b²，過橢圓上一點P引圓O的兩條切線，切點分別為A，B．
（1）（ⅰ）若圓O過橢圓的兩個焦點，求橢圓的離心率e；
（ⅱ）若橢圓上存在點P，使得∠APB=90°，求橢圓離心率e的取值范圍；
（2）設直線AB與x軸、y軸分別交于點M，N，求證：

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（ⅰ）由圓O過橢圓的焦點，知圓O：x²+y²=b²，由此能求出橢圓的離心率e；
      （ⅱ）由∠APB=90°及圓的性質，可得|OP|=

2

b，|OP|²=2b²≤a²，由此能求出橢圓離心率e的取值范圍；
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

y0-y1

x0-x1

=-

x1

y1

，所以PA方程為：x₁x+y₁y=b²，PB方程為：x₂x+y₂y=b²．由此入手能得到

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

為定值．

解答：解：（Ⅰ）（ⅰ）∵圓O過橢圓的焦點，圓O：x²+y²=b²，
∴b=c，∴b²=a²-c²=c²，∴a²=2c²，
∴e=

2

2

．（3分）
（ⅱ）由∠APB=90°及圓的性質，可得|OP|=

2

b，
∴|OP|²=2b²≤a²，∴a²≤2c²
∴e2≥

1

2

，

2

2

≤e＜1．（6分）
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

y0-y1

x0-x1

=-

x1

y1

整理得x₀x+y₀y=x₁²+y₁²∵x₁²+y₁²=b²
∴PA方程為：x₁x+y₁y=b²，PB方程為：x₂x+y₂y=b²．
∴x₁x+y₁y=x₂x+y₂y，∴

y2-y1

x2-x1

=-

x0

y0

，
直線AB方程為y-y1=-

x0

y0

(x-x1)，即x₀x+y₀y=b²．
令x=0，得|ON|=|y|=

b2

|y0|

，令y=0，得|OM|=|x|=

b2

|x0|

，
∴

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

=

a2 y 2 0 +b2 x 2 0

b4

=

a2b2

b4

=

a2

b2

，
∴

a2

|ON|2

+

b2

|OM|2

為定值，定值是

a2

b2

．（12分）

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．