Question

已知函數f(x)＝x2－4，設曲線y＝f(x)在點(xn，f(xn))

處的切線與x軸的交點為(xn＋1,0)(n∈N＋)，其中x1為正實數．

(1)用xn表示xn＋1；

(2)求證：對一切正整數n，xn＋1≤xn的充要條件是x1≥2；

(3)若x1＝4，記an＝lg ，證明數列{an}成等比數列，并求數列{xn}的通項公式．

 

Answer 1

（1）xn＋1＝（2）見解析（3）xn＝

【解析】(1)由題意可得f′(x)＝2x，

所以過曲線上點(xn，f(xn))的切線方程為

y－f(xn)＝f′(xn)(x－xn)，即y－(－4)＝2xn(x－xn)．

令y＝0，得－(－4)＝2xn(xn＋1－xn)．

即＋4＝2xnxn＋1.顯然xn≠0，∴xn＋1＝.

(2) (必要性)若對一切正整數n，有xn＋1≤xn，則x2≤x1，

即≤x1，∴≥4.而x1>0，即有x1≥2.

(充分性)若x1≥2>0，由xn＋1＝，

用數學歸納法易得xn>0，從而xn＋1＝≥2＝2(n≥1)，

即xn≥2(n≥2)．又x1≥2，∴xn≥2(n≥1)．

于是xn＋1－xn＝－xn＝＝≤0. ?

即xn＋1≤xn對一切正整數n成立．

(3) xn＋1＝，知xn＋1＋2＝，

同理，xn＋1－2＝.故＝()2.

從而lg＝2lg，即an＋1＝2an.所以，數列{an}成等比數列，

故an＝2n－1a1＝2n－1·lg ＝2n－1lg 3，

即lg ＝2n－1lg 3.從而＝32n－1，所以xn＝.