Question

已知a＞0，b＞0，2c＞a＋b．求證：c－＜a＜c＋．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：要證c－＜a＜c＋，只要證－＜a－c＜，即要證|a－c|＜，即要證(a－c)2＜c2－ab，即要證a2－2ac＜－ab， 　　∵a＞0，∴即要證a－2c＜－b．即要證a＋b＜2c，這是已知． 　　∴原不等式成立． 　　(2)另證：用綜合法． 　　∵a＋b＜2c，∴a－2c＜－b． 　　又a＞0，∴a2－2ac＜－ab． 　　∴(a－c)2＜c2－ab．即|a－c|＜． 　　∴－＜a－c＜，∴c－＜a＜c＋． 　　分析：觀察待證不等式是一個雙聯不等式，不易用比較法，又待證式子等價于－＜a－c＜．即|a－c|＜．也不具備使用基本不等式的特點，用分析法較為合適．

提示：

(1)評注：分析法的步驟為未知→需知→已知．在操作中“要證”“只要證”“即要證”這些詞語也是必不可少的，否則就是錯誤的． 　　(2)評注：綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單，條理清楚．所以在實際證題時，往往用分析法分析，用綜合法書寫．