Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（6sinx+cosx，7sinx-2cosx），設函數f（x）=

a

•

b

-2．
（1）求函數f（x）的最大值，并求取得最大值時x的值；
（2）在A為銳角的△ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，若f（A）=4且△ABC的面積為3，b+c=2+3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則表示出

a

•

b

，代入f（x）的解析式中，利用同角三角函數間的基本關系將其中的2變為2（sin²x+cos²x），去括號合并后，利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的值域可得出函數的最大值，并根據正弦函數的圖象與性質求出此時x的值；
（2）由f（A）=4，將x=A，f（x）=4代入第一問化簡后的f（x）的解析式中，變形后根據特殊角的三角函數值求出A的度數，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將已知的面積及sinA的值代入，求出bc的值，然后利用余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，將cosA的值代入后利用完全平方公式變形，將bc及b+c的值代入，即可求出a的值．

解答：解：（1）∵向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（6sinx+cosx，7sinx-2cosx），
∴f（x）=

a

•

b

-2=sinx（6sinx+cosx）+cosx（7sinx-2cosx）-2
=6sin²x+sinxcosx+7sinxcosx-2cos²x-2
=6sin²x-2cos²x-2（sin²x+cos²x）+8sinxcosx
=4（sin²x-cos²x）+4sin2x
=4sin2x-4cos2x
=4

2

sin（2x-

π

4

），
∵sin（2x-

π

4

）∈[-1，1]，
∴當2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

3π

8

時，正弦函數sin（2x-

π

4

）取得最大值，且最大值為1，
則f（x）的最大值為4

2

，此時x=kπ+

3π

8

；
（2）由f（A）=4，得到4

2

sin（2A-

π

4

）=4，即sin（2A-

π

4

）=

2

2

，
又A為三角形的內角，∴2A-

π

4

=

π

4

或2A-

π

4

=

3π

4

，
解得：A=

π

4

或A=

π

2

（由A為銳角，故舍去），
∴A=

π

4

，
又三角形的面積為3，
∴S=

1

2

bcsinA=3，即bc=6

2

，又b+c=2+3

2

，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-

2

bc=（b+c）²-2bc-

2

bc
=（2+3

2

）²-12

2

-12=10，
則a=

10

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：平面向量的數量積運算，二倍角的正弦、余弦函數公式，同角三角間的基本關系，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，三角形的面積公式，余弦定理，以及完全平方公式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．