Question

拋物線y²=4x上一定點P（x₀，2），直線l的一個方向向量

d

=(1，-1)
（1）若直線l過P，求直線l的方程；
（2）若直線l不過P，且直線l與拋物線交于A，B兩點，設直線PA，PB的斜率為k_PA，k_PB，求k_PA+k_PB的值．

Answer 1

（1）由拋物線y²=4x上一定點P（x₀，2），
則4=4x₀，∴x₀=1．故P（1，2）．
∵直線l的一個方向向量

d

=(1，-1)，∴直線l的斜率為-1．
∴過P（1，2）的直線l的方程為y-2=-1×（x-1），
即x+y-3=0；
（2）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由題得直線的斜率為-1．
設不過點P的直線方程為y=-x+b，
由

y2=4x y=-x+b

，得y²+4y-4b=0，則y₁+y₂=-4．
由于P（1，2），
∴k_PA+k_PB=

y1-2

x1-1

+

y2-2

x2-1

=

y1-2

y12 4 -1

+

y2-2

y22 4 -1

=

4

y1+2

+

4

y2+2

=

4(y1+y2+4)

(y1+2)(y2+2)

=0．