Question

【題目】已知定義域為R的偶函數(shù)f（x）滿足對于任意實數(shù)x，都有f（1+x）=f（1﹣x），且當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=3x+1 ．
（1）求證：函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[1，3]時，求f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：對任意實數(shù)x都有

f（x+2）=f[1+（1+x）]=f[1﹣（1+x）]=f（﹣x），

由于f（x）為偶函數(shù)，f（﹣x）=f（x）

∴f（x+2）=f（x）

∴函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)

（2）解：當(dāng)x∈[1，2]時，2﹣x∈[0，1]

則f（x）=f（﹣x）=f（2﹣x）=32﹣x+1=33﹣x，

當(dāng)x∈[2，3]時，x﹣2∈[0，1]

則f（x）=f（x﹣2）=3x﹣2+1=3x﹣1，

綜上，f（x）=

【解析】把x+2拆成1+（x+1），代入f（1+x）=f（1﹣x），再利用偶函數(shù)的性質(zhì)f（﹣x）=f（x）推導(dǎo)周期．（2）利用第（1）問中函數(shù)的周期及奇偶性過度到已知區(qū)間上函數(shù)的表達(dá)式求解函數(shù)的解析式．