Question

【題目】如圖所示，橢圓的短軸為，，離心率，為第一象限內橢圓上的任意一點，設軸于，為線段的中點，過作直線軸．

（1）求橢圓的方程；

（2）若的縱坐標為，求直線截橢圓所得的弦長；

（3）若直線交直線于，為直線上一點，且為原點），證明：為線段的中點．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)見解析.

【解析】

（1）先求出b＝1，再根據離心率公式和a2＝b2+c2，即可求出，

（2）根據弦長公式即可求出，

（3）設P（x0，y0），求出點M和D的坐標根據DQ⊥OQ（O為原點）即可證明．

(1)

,則,a=2

橢圓C的方程為：

(2)由點P在橢圓上，則,可得

，，

直線AQ:y=x-1

代入，整理可得：

從而所截弦長為

(3)設P()，則Q, ①

直線AQ:y=x-1,與直線l:y=1聯立

可得=

設D(),由DQ，可得

解得，代入①式中，化簡

則

代入①式中，則，得證.