Question

如圖，設F是橢圓的左焦點，直線l為左準線，直線l與x軸交于P點，MN為橢圓的長軸，已知，且．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點P作直線與橢圓交于A、B兩點，求△ABF面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用橢圓的長軸求得橢圓方程中的a，利用橢圓的定義和求得離心率，進而求得c，則b的值可得，最后求得橢圓的標準方程．
（Ⅱ）設出AB的方程，代入橢圓方程整理后利用韋達定理表示出y_A+y_B和y_Ay_B，進而根據S_△ABF=S_△PBF-S_△PAF|表示出△ABF面積利用基本不等式求得面積的最大值．
解答：解：（Ⅰ）由題意，得2a=8，∴a=4．
又，∴
∴c=2，b²=a²-c²=12．
∴橢圓的標準方程為．
（Ⅱ）設過P點的直線AB方程為x=my-8，
代入橢圓方程整理得（3m²+4）y²-48my+144=0，，．
而．
即．
當且僅當，即時等號成立，且滿足△＞0．
∴△ABF面積的最大值是．
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，直線與橢圓的關系．解題最后注意對所求的m的值代入判別式進行驗證．保證答題的嚴密性．