Question

廣東省某家電企業根據市場調查分析，決定調整新產品生產方案，準備每周（按40個工時計算）生產空調機、彩電、冰箱共120臺，且冰箱至少生產20臺，已知生產這些家電產品每臺所需工時和每臺產值如下表：

家電名稱	空調機	彩電	冰箱
工時	1 2	1 3	1 4
產值/千元	4	3	2

問每周應生產空調機、彩電、冰箱各多少臺，才能使產值最高？最高產值是多少？（以千元為單位）

Answer 1

分析：設每周應生產空調、彩電、冰箱的數量分別為x臺、y臺、z臺，且總產值A=4x+3y+2z．建立三元一次方程組，由于每周冰箱至少生產20臺即z≥20，結合生產空調器、彩電、冰箱共120臺算出出10≤x≤40，利用一次函數的單調性即可求得產值A的最大值，進而可得相應的x、y、z的值．

解答：解：設每周應生產空調、彩電、冰箱的數量分別為x臺、y臺、z臺，
根據題意可得，總產值為A=4x+3y+2z．
x、y、z滿足

x+y+z=120 1 2 x+ 1 3 y+ 1 4 z=40 z≥20

（x、y、z∈N^*）
∵z=120-x-y=160-2x-

4

3

y
∴消去z，可得y=120-3x，進而得到z=2x
因此，總產值為A=4x+3y+2z=4x+3（120-3x）+4x=360-x
∵z=2x≥20，且y=120-3x≥0
∴x的取值范圍為x∈[10，40]
根據一次函數的單調性，可得A=360-x∈[320，350]
由此可得當x=10，y=90，z=20時，產值A達到最大值為350千元．
答：生產空調機10臺、彩電90臺、冰箱20臺時，可使產值達最大值，最大產值為350千元．

點評：本題給出實際應用問題，求工廠生產總值的最大化的問題，著重考查了三元一次方程組的處理、一次函數的單調性和簡單線性規劃的應用等知識點，屬于中檔題．