Question

【題目】已知數列,,且對任意n恒成立．

（1）求證:();

（2）求證:().

Answer 1

【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析

【解析】

（1）利用數學歸納法直接證明,假設當時,成立,則當時,,將代入即可證得:當時,成立,即可求得答案;

（2）由（1）,利用數學歸納法證明,即可求得答案;

（1）當時,

滿足成立.

假設當時,結論成立.即:成立

下證:當時,成立。

即:當時,成立

綜上所述:()成立。

（2）①當時,成立,

當時,成立,

②假設時(),結論正確,即:成立

下證:當時,成立.

要證,

只需證

只需證:,

只需證:

即證:,().

記

當時,

在上遞增,

又

當時,恒成立。

即:當時,成立。

即:當時,恒成立.

當,恒成立.

由①②可得:對任意的正整數,不等式恒成立,命題得證