Question

（2012•遼寧）選修4-5：不等式選講
已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集為{x|-2≤x≤1}．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若|f(x)-2f(

x

2

)|≤k恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先解不等式|ax+1|≤3，再根據不等式f（x）≤3的解集為{x|-2≤x≤1}，分類討論，即可得到結論．
（Ⅱ）記h(x)=f(x)-2f(

x

2

)，從而h（x）=

1，x≤-1 -4x-3，-1＜x＜- 1 2 -1，x≥- 1 2

，求得|h（x）|≤1，即可求得k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得-4≤ax≤2
∵不等式f（x）≤3的解集為{x|-2≤x≤1}．
∴當a≤0時，不合題意；
當a＞0時，-

4

a

≤x≤

2

a

，∴a=2；
（Ⅱ）記h(x)=f(x)-2f(

x

2

)，∴h（x）=

1，x≤-1 -4x-3，-1＜x＜- 1 2 -1，x≥- 1 2

∴|h（x）|≤1
∵|f(x)-2f(

x

2

)|≤k恒成立，∴k≥1．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查恒成立問題，將絕對值符號化去是關鍵，屬于中檔題．